Aljabar Linear - STT PLN

1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

                

Nilai Eigen Definisi Sebuah matriks bujur  sangkar dengan orde n × n misalkan A dan sebuah vektor kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euclidean Rⁿ yang dihubungkan dengan sebuah persamaan:

                AX = λX

Dimana λ adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol. Skalar λ dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.

Contoh :1

 Misalkan sebuah vektor X =   dan sebuah matriks bujur sangkar orde 2 × 2

  

2. Nilai Eigen

Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan sebelumnya kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan:

 IAX = IλX
AX = λIX
(λI − A)X = 0

Persamaan tersebut terpenuhi jika dan hanya jika det[λI − A] Dengan menyelesaikan persamaan det[λI −A] dapat ditentukan nilai eigen (λ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut.

3. Vektor Eigen

Kita tinjau kembali persamaan AX = λX dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Pada sub Bab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen (vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya. kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde 2 × 2 berikut:
(a11 − λ)x1 + a12x2 = 0

 a21x1 + (a22 − λ)x2 = 0
Persamaan diatas adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rⁿ yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika ersamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.